解答题
7.设f(x)在(x0一δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(x0)=0，k=2，3，…，n一1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)一f(x0)=hf'(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
【正确答案】这里m=1，求的是f(x0+h)一f(x0)=hf'(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f'(x0+θh)在x=x0展成带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式得
f'(x0+θh)=f'(x0)+f"(x0)θh+
(3)(x0)(θh)2+…
+
f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1)
=f'(x0)+
f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1)(h→0)，
代入原式得
f(x0+h)一f(x0)=hf'(x0)+
fn—1(x0)θn—1hn+o(hn) ①
再将f(x0+h)在x=x0展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式
f(x0+h)一f(x0)=f'(x0)¨…+
f(n)(x0)hn+o(hn)
=f'(x0)h+
f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， ②
将②代入①后两沩除以hn得
f'(x0+θh)=f'(x0)+f"(x0)θh+
(3)(x0)(θh)2+…+
f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1)=f'(x0)+
f(n)(x0)(θh)n—1+o(hn—1)(h→0)，代入原式得
f(x0+h)一f(x0)=hf'(x0)+
fn—1(x0)θn—1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式
f(x0+h)一f(x0)=f'(x0)¨…+
f(n)(x0)hn+o(hn)=f'(x0)h+
f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， ②将②代入①后两沩除以hn得
【答案解析】