【正确答案】(Ⅰ)由题设条件，有
A(α₁，α₂，α₃)=(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃)
=(α₁，α₂，α₃)
所以，
(Ⅱ)因为α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，可知矩阵C=(α₁，α₂，α₃)可逆，所以由AC=CB，得C^一1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值，
由|λE 一B|==(λ一1)²(λ一4)=0
得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为λ₁一λ₂=1，λ₃=4．
(Ⅲ)对应于λ₁=λ₂=1，解齐次线性方程组(E一B)x=0，得基础解系
ξ₁=(一1，1，0)^T，ξ₂=(一2，0，1)^T；
对应于λ₃=4，解齐次线性方程组(4E一B)x=0，得基础解系ξ₃=(0，1，1)^T．
令矩阵
Q= (ξ₁，ξ₂，ξ₃)=
则有
Q^一1BQ=
因Q^一1BQ=Q^一1C^一1ACQ=(CQ)^一1A(CQ)，记矩阵
P= CQ=(α₁，α₂，α₃)