解答题
3.(95年)设f(χ)、g(χ)在区间[－a，a](a＞0)上连续．g(χ)为偶函数，且f(χ)满足条件f(χ)＋f(－χ)＝A(A为常数)
(1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ
(2)利用(1)的结论计算定积分
(1)证明∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ
(2)利用(1)的结论计算定积分
【正确答案】由于∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝∫-a0f(χ)g(χ)dχ＋∫0af(χ)g(χ)dχ
又∫(χ)g(χ)dχ
∫f(－t)g(－t)dt＝∫f(－t)g(t)dt
＝∫0af(－χ)g(χ)dχ
所以∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ
(2)取f(χ)＝arctaneχ，g(χ)＝｜sinχ｜，a＝
f(χ)＋f(－χ)＝arctaneχ＋arctane－χ
由于(arctaneχ＋arctane－χ)＝
≡0
则arctaneχ＋arctane－χ＝A
令χ＝0，得2arctan1＝A，A＝
即f(χ)＋f(－χ)＝
于是有
又∫(χ)g(χ)dχ
∫f(－t)g(－t)dt＝∫f(－t)g(t)dt＝∫0af(－χ)g(χ)dχ
所以∫-aaf(χ)g(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]g(χ)dχ＝A∫0ag(χ)dχ
(2)取f(χ)＝arctaneχ，g(χ)＝｜sinχ｜，a＝
f(χ)＋f(－χ)＝arctaneχ＋arctane－χ
由于(arctaneχ＋arctane－χ)＝
≡0则arctaneχ＋arctane－χ＝A
令χ＝0，得2arctan1＝A，A＝
即f(χ)＋f(－χ)＝
于是有
【答案解析】