解答题
14.设f(x)，g(x)在[a，b]上连续且g(x)不变号，证明：至少存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。
【正确答案】当g(x)=0，x∈[a，b]时，有∫abg(x)dx=0，此时任意ξ∈[a，b]，有∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx=0。
当g(x)≠0时，因为g(x)在[a，b]上不变号，所以必有对任意x∈[a，b]，g(x)＞0或g(x)＜0。不妨设x∈[a，b]时，g(x)＞0。根据最大值最小值定理知f(x)在[a，b]上连续，则必取到最小值m和最大值M，所以对任意x∈[a，b)]，都有m≤f(x)≤M，进而有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，可以推出
m∫abg(x)dx=∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx=M∫abg(x)dx，
因为∫abg(x)dx＞0，可得m≤
≤M，根据介值定理可知，至少存在一点ξ∈[a，b]，使
当g(x)≠0时，因为g(x)在[a，b]上不变号，所以必有对任意x∈[a，b]，g(x)＞0或g(x)＜0。不妨设x∈[a，b]时，g(x)＞0。根据最大值最小值定理知f(x)在[a，b]上连续，则必取到最小值m和最大值M，所以对任意x∈[a，b)]，都有m≤f(x)≤M，进而有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，可以推出
m∫abg(x)dx=∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx=M∫abg(x)dx，
因为∫abg(x)dx＞0，可得m≤
≤M，根据介值定理可知，至少存在一点ξ∈[a，b]，使【答案解析】