解答题
20.设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
【正确答案】方法一
∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx－k[∫0kf(x)dx＋∫k1f(x)dx]
=(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]
其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]，因为0＜k＜1且f(x)单调减少，
所以∫0kf(x)dx—k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
方法二
∫0kf(x)dx
∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx－k[∫0kf(x)dx＋∫k1f(x)dx]
=(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]
其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]，因为0＜k＜1且f(x)单调减少，
所以∫0kf(x)dx—k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
方法二
∫0kf(x)dx
【答案解析】