解答题 32.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

【正确答案】必要性．若B^TAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有
x^T(B^TAB)x＞0，
即 (Bx)^TA(Bx)＞0．
又A为正定矩阵，于是Bx≠0．因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解，从而r(B)=n．
充分性．因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0仅有零解．因此，对任意的n维实列向量x≠0，必有Bx≠0．
由已知，A为正定矩阵，故对Bx≠0，有
(Bx)^TA(Bx)＞0，
x^T(B^TAB)x＞0，
故B^TAB为正定矩阵．

【答案解析】