【正确答案】 B

【答案解析】显然有
f(x)=
即f(x)在x=0处连续，先求出
f_-′(0)=(x²+ax+1)′|_x=0=a，
f₊′(0)=(e^x+bsinx²)′|_x=0=(e^x+2bxcosx²)|_x=0=1．
要求f′(0)f₊′(0)=f_-′(0)即a=1．此时
f_-″(0)=(2x+1)′|_x=0=2，
f₊″(0)=(e^x+2bxcosx²)′|_x=0=(e^x+2bcosx²—4bx²sinx²)|_x=0
=1+2b．
要求f″(0)f_-″(0)=f₊″(0)即2=1+2b，b=．
因此选B．
分析2：我们考虑分段函数
f(X)=
其中f₁(x)和f₂(x)均在x=x₀邻域k阶可导，则f(x)在分界点x=x₀有k阶导数的充要条件是f₁(x)和f₂(x)在x=x₀处有相同的k阶泰勒公式：
f₁(x)=f₂(x)
=a₀+a₁(x—x₀)+a₂(x—x₀)²+…+a_k(x—x₀)^k+o((x—x₀)^k)(x→x₀)
把这一结论用于本题：取x₀=0．
f₁(x)=1+ax+x²
f₂(x)=e^x+bsinx²
=1+x+x²+o(x²)+b(x²+o(x²))
=1+x+(b+)x²+o(x²)．
因此f(x)在x=0处二阶可导
a=1，b+=1，即a=1，b=．
故应选B．