问答题
设A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维列向量，α
1
≠0，满足Aα
1
=2α
1
，Aα
2
=α
1
+2α
2
，Aα
3
=α
2
+2α
3
．
问答题
证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
【正确答案】正确答案：由题设条件，得 (A－2E)α
1
=0，(A－2E)α
2
=α
1
，(A－2E)α
3
=α
2
． 对任意常数k
1
，k
2
，k
3
，令 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0． ①式两端左边乘A－2E，得k
2
α
1
+k
3
α
2
=0； ②式两端左边乘A－2E，得k
3
α
1
=0． 因α
1
≠0，故k
3
=0，代回②式，得k
2
=0，代回①式得k
1
=0． 故 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0=>k
1
=k
2
=k
3
=0， 得证α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【答案解析】
问答题
A能否相似于对角矩阵，说明理由．
【正确答案】正确答案：由第一小题知 (A－2E)[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
故 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
[α
1
，α
2
，α
3
]B． 因α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故C=[α
1
，α
2
，α
3
]是可逆矩阵，则C
－1
AC=B，即A～B． 又B有三重特征值λ
1
=λ
2
=λ
3
=2，但
故 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
[α
1
，α
2
，α
3
]B． 因α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故C=[α
1
，α
2
，α
3
]是可逆矩阵，则C
－1
AC=B，即A～B． 又B有三重特征值λ
1
=λ
2
=λ
3
=2，但
【答案解析】