解答题 16.设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)=－f(ξ)cotξ．
【正确答案】令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(π)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ′(ξ)=0，
而φ′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx，
于是f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f′(ξ)=－f(ξ)cotξ．
【答案解析】