设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数：
(Ⅰ)Y
1
=e
X
；
(Ⅱ)Y
2
=－2lnxX；
(Ⅲ)Y
3
=1／X；
(Ⅳ)Y
4
=X
2
．
【正确答案】正确答案：依题意，X的概率密度为f
X
(x)
(Ⅰ)y=e
x
在(0，1)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，x=h'(y)=1／y≠0，用公式即得y的概率密度为
(Ⅱ)y=－2lnx在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=e
－y／2
的定义域为(0，+∞)，h'(y)=－1／2e
－y／2
≠0，根据公式，Y
2
的概率密度为
(Ⅲ)y=－1／x在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=1≥y的定义域为(1，+∞)，当y＞1时，其导数h'(y)=－1／y
2
≠0，应用公式，Y
3
的概率密度为
(Ⅳ)y=x
2
在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域亦为(0，1)，且h'(y)=
≠0．应用公式(2．16)，y4的概率密度为
(Ⅰ)y=e
x
在(0，1)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，x=h'(y)=1／y≠0，用公式即得y的概率密度为
(Ⅱ)y=－2lnx在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=e
－y／2
的定义域为(0，+∞)，h'(y)=－1／2e
－y／2
≠0，根据公式，Y
2
的概率密度为
(Ⅲ)y=－1／x在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=1≥y的定义域为(1，+∞)，当y＞1时，其导数h'(y)=－1／y
2
≠0，应用公式，Y
3
的概率密度为
(Ⅳ)y=x
2
在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=
的定义域亦为(0，1)，且h'(y)=
≠0．应用公式(2．16)，y4的概率密度为
【答案解析】