解答题
15.二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求：
(1)常数a，b；
(2)正交变换的矩阵Q．
(1)常数a，b；
(2)正交变换的矩阵Q．
【正确答案】(1)令
则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，
矩阵A的特征值为λ1＝5，λ2＝b，λ3＝－4，
从而A＝
，特征值为λ1＝λ2＝5，λ3＝－4．
(2)将λ1＝λ2＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，
由5E－A＝
得λ1＝λ2＝5对应的线性无关的特征向量为
将λ3＝－4代入(2E－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0，
由4E＋A＝
得λ3＝－4对应的线性无关的特征向量为
α3＝
．
令
单位化得
所求的正交变换矩阵为
则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，
矩阵A的特征值为λ1＝5，λ2＝b，λ3＝－4，
从而A＝
，特征值为λ1＝λ2＝5，λ3＝－4．(2)将λ1＝λ2＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，
由5E－A＝
得λ1＝λ2＝5对应的线性无关的特征向量为将λ3＝－4代入(2E－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0，
由4E＋A＝
得λ3＝－4对应的线性无关的特征向量为α3＝
．令
单位化得
所求的正交变换矩阵为
【答案解析】