问答题
判断下列信号是否是周期性信号，如果是则其周期为多少?
(1)sin(k)
(2)e j0.4πk
(3)sin(0.2πk)+cos(0.3πk)
(4)cos(0.512πk)
(5)sgn[(-0.23) k ]
(6)sin(πk)ε(k)
(1)sin(k)
(2)e j0.4πk
(3)sin(0.2πk)+cos(0.3πk)
(4)cos(0.512πk)
(5)sgn[(-0.23) k ]
(6)sin(πk)ε(k)
【正确答案】
【答案解析】解 根据周期信号的定义，对于离散信号f(k)，若存在某个正整数N，使f(k+N)=f(k)，则f(k)是以N为周期的。
(1)要使sin(k+N)=sink，不难知
N=2πn(n为整数)
但2πn不是整数，所以sink不是周期信号。
(2)e j0.4πk =cos(0.4πk)+jsin(0.4πk)
要使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)
需0.4πN=2πn(n为整数)
即 N=5n
可见存在正整数，使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)
所以cos(0.4πk)是周期的，且最小周期N=5。
同理可知sin(0.4πk)也是以5为周期的序列，从而e j0.4πk 是周期的，且周期为5。
(3)对于sin(0.2πk)，由sin[0.2π(k+N 1 )]=sin(0.2πk)可求得N 1 =10n。当n=1时，N 1 =10，即sin(0.2πk)是周期为10的序列。
对于cos(0.3πk)，由cos[0.3π(k+N 2 )]=cos(0.3πk)可求得
。当n=3时，N
2
=20，即cos(0.3πk)是周期为20的序列。
所以对于sin(0.2πk)+cos(0.3πk)，其周期为N 1 和N 2 的最小公倍数，亦即20。
(4)由cos[0.512π(k+N)]=cos(0.512πk)可得
取n=32可得N=125，即cos(0.512πk)是周期为125的周期序列。
(5)因为
(1)要使sin(k+N)=sink，不难知
N=2πn(n为整数)
但2πn不是整数，所以sink不是周期信号。
(2)e j0.4πk =cos(0.4πk)+jsin(0.4πk)
要使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)
需0.4πN=2πn(n为整数)
即 N=5n
可见存在正整数，使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)
所以cos(0.4πk)是周期的，且最小周期N=5。
同理可知sin(0.4πk)也是以5为周期的序列，从而e j0.4πk 是周期的，且周期为5。
(3)对于sin(0.2πk)，由sin[0.2π(k+N 1 )]=sin(0.2πk)可求得N 1 =10n。当n=1时，N 1 =10，即sin(0.2πk)是周期为10的序列。
对于cos(0.3πk)，由cos[0.3π(k+N 2 )]=cos(0.3πk)可求得
。当n=3时，N
2
=20，即cos(0.3πk)是周期为20的序列。
所以对于sin(0.2πk)+cos(0.3πk)，其周期为N 1 和N 2 的最小公倍数，亦即20。
(4)由cos[0.512π(k+N)]=cos(0.512πk)可得
取n=32可得N=125，即cos(0.512πk)是周期为125的周期序列。
(5)因为