解答题
21.设二元函数u＝u(χ，y)有二阶连续偏导数，并满足方程
【正确答案】u(χ，2χ)＝χ两边对χ求导，得
u′χ(χ，2χ)＋u′y(χ，2χ)×2＝1， (1)
又u′χ(χ，2χ)＝χ2， (2)
代人(1)式得
u′y(χ，2χ)＝
(1－χ2)． (3)
(2)式两端对χ求导，得
u〞χχ(χ，2χ)＋u〞χy(χ，2χ)×2＝2χ， (4)
(3)式两端对χ求导得
u′yχ(χ，2χ)＋u′yy(χ，2χ)×2＝－χ (5)
又
＝0， (6)
由(4)、(5)、(6)式可得
u〞χχ(χ，2χ)＝u〞yy(χ，2χ)＝
u′χ(χ，2χ)＋u′y(χ，2χ)×2＝1， (1)
又u′χ(χ，2χ)＝χ2， (2)
代人(1)式得
u′y(χ，2χ)＝
(1－χ2)． (3)(2)式两端对χ求导，得
u〞χχ(χ，2χ)＋u〞χy(χ，2χ)×2＝2χ， (4)
(3)式两端对χ求导得
u′yχ(χ，2χ)＋u′yy(χ，2χ)×2＝－χ (5)
又
＝0， (6)由(4)、(5)、(6)式可得
u〞χχ(χ，2χ)＝u〞yy(χ，2χ)＝
【答案解析】