解答题
设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为
问答题
求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；
【正确答案】
【答案解析】[解] 对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，有
问答题
当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设γ是方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解，则
γ=x1β1+x2β2=-x3α1-x4α2
那么x1β1+x2β2+x3α1+x4α4=0．
对系数矩阵A=(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，有
且γ≠0
x1，x2，x3，x4不全为0
r(A)＜4
a=-1．
当a=-1时
得基础解系η1=(-1，-1，1，0)T，η2=(-4，-7，0，1)T
所以Ax=0的通解为k1η1+k2η2=(-k1-4k2，-k1-7k2，k1，k2)T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解
γ=x1β1+x2β2=-x3α1-x4α2
那么x1β1+x2β2+x3α1+x4α4=0．
对系数矩阵A=(β1，β2，α1，α2)作初等行变换，有
且γ≠0
x1，x2，x3，x4不全为0r(A)＜4a=-1．当a=-1时
得基础解系η1=(-1，-1，1，0)T，η2=(-4，-7，0，1)T
所以Ax=0的通解为k1η1+k2η2=(-k1-4k2，-k1-7k2，k1，k2)T
故方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解