解答题
19.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在(1，1)处在切线与x轴平行．
【正确答案】曲线y=y(x)在点P(x，y)处的发现方程为Y-y=- 1/y'(X-x)(当y'≠0时)，
它与x轴的交点是Q(x+yy'，0)，从而｜PQ｜=
(当y'=0时，有Q(x，0)，｜PQ｜=y，上式仍成立)，
根据题意得微分方程
即yy''=1+Y'2．且当x=1时y=1。
y'=0．
令y'=P(r)，则y''=
，二阶方程降为一阶方程
=1+P2．
分离变量得
，积分并注意P｜x=1=y'｜x=1=0，得
即y'2=y2-1。y'=
，分离变量得
积分并注意y｜x=1=1，得
即
它与x轴的交点是Q(x+yy'，0)，从而｜PQ｜=
(当y'=0时，有Q(x，0)，｜PQ｜=y，上式仍成立)，
根据题意得微分方程
即yy''=1+Y'2．且当x=1时y=1。y'=0．
令y'=P(r)，则y''=
，二阶方程降为一阶方程=1+P2．分离变量得
，积分并注意P｜x=1=y'｜x=1=0，得即y'2=y2-1。y'=
，分离变量得积分并注意y｜x=1=1，得
即
【答案解析】