设向量组(I)：α
1
=(1，0，2)
T
，α
2
=(1，1，3)
T
，α
3
=(1，-1，a+2)
T
和向量组(Ⅱ)：
β
1
=(1，2，a+3)
T
，β
2
=(2，1，a+6)
T
，β
3
=(2，1，a+4)
T
．试问：当a为何值时，向量组(I)与向量组
(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与向量组(Ⅱ)不等价?
【正确答案】正确答案：对(α
1
，α
2
，α
3
:β
1
，β
2
，β
3
)作初等行变换，有
(1)当a≠一1时，行列式|α
1
，α
2
，α
3
|=a+1≠0， 由克莱姆法则，知三个线性方程组x
1
α
1
+α
2
x
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1，2，3)均有唯一解，所以β
1
，β
2
，β
3
可由向量组(I)线性表出。 由于行列式
由克莱姆法则，知三个线性方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
i
(j=1，2，3)均有唯一解，即a≠一1时，向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价。 (2)当a=一1时，有
(1)当a≠一1时，行列式|α
1
，α
2
，α
3
|=a+1≠0， 由克莱姆法则，知三个线性方程组x
1
α
1
+α
2
x
2
+x
3
α
3
=β
i
(i=1，2，3)均有唯一解，所以β
1
，β
2
，β
3
可由向量组(I)线性表出。 由于行列式
由克莱姆法则，知三个线性方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
i
(j=1，2，3)均有唯一解，即a≠一1时，向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价。 (2)当a=一1时，有
【答案解析】