问答题
某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x
1
(万元)及报纸广告费用x
2
(万元)之间的关系有如下经验公式：
R=15+14x
1
+322x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
．
(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．
【正确答案】正确答案：(1)利润函数为 z=f(x
1
，x
2
)=15+14x
2
+32x
2
－8x
2
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
－(x
2
+x
2
) =15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
．
函数z=f(x
1
，x
2
)在点(0．75，1．25)的二阶导数为
由于B
2
－AC=64－80=－16＜0，A=－4＜0，所以函数x=f(x
1
，x
2
)在(0．75，1．25) 处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x
1
，x
2
)在x
1
+x
2
=1．5时的条件极值． 构造拉格朗日函数． F(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
－1．5)， 由方程组
函数z=f(x
1
，x
2
)在点(0．75，1．25)的二阶导数为
由于B
2
－AC=64－80=－16＜0，A=－4＜0，所以函数x=f(x
1
，x
2
)在(0．75，1．25) 处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x
1
，x
2
)在x
1
+x
2
=1．5时的条件极值． 构造拉格朗日函数． F(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
－1．5)， 由方程组
【答案解析】