解答题
问答题
设
【正确答案】
【答案解析】[解]因A=AT，(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是实对称矩阵．
法一
知A有特征值λ1=0，λ2=λ3=3，则kE+A有特征值k，k+3，k+3，kE+A正定
k＞0．
法二
法一
知A有特征值λ1=0，λ2=λ3=3，则kE+A有特征值k，k+3，k+3，kE+A正定
k＞0．法二
问答题
A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[证]因A=AT．有(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是实对称矩阵．设A有特征值λ1，λ2，…，λn，且λ1≤λ2≤…≤λn，则kE+A有特征值k+λ1，…，k+λn，且k+λ1≤k+λ2≤…≤k+λn．
