解答题
设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
问答题
12.求f(x)；
【正确答案】由题知，存在二元函数u(x，y)，使
du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，
即
由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，
即
由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
【答案解析】
问答题
13.求u(x，y)的一般表达式．
【正确答案】由上题有，du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy．求u(x，y)有多个方法．
方法一 凑微分法．
所以u(x，y)=
(xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C为任意常数．
方法二 偏积分法．由
其中C1(y)为Y的任意可微函数．再由
得
x2y+x+e-x+C'1(y)=x一1+e-x+x2y，
于是C'1(y)=一1，C1(y)=一y+C．于是
u=
方法一 凑微分法．
所以u(x，y)=
(xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C为任意常数．方法二 偏积分法．由
其中C1(y)为Y的任意可微函数．再由
得x2y+x+e-x+C'1(y)=x一1+e-x+x2y，
于是C'1(y)=一1，C1(y)=一y+C．于是
u=
【答案解析】