解答题
7.已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，
，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分
，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分
【正确答案】将二重积分
xyf''xy(x，y)dxdy转化为累次积分可得
xyf''xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf''xy(x，y)dx
首先考虑∫01xyf''xy(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有
∫01xyf''xy(x，y)dx=y∫01xdf'y(x，y)
=xyf'y(x，y)｜01一∫01yf'y(x，y)dx
=yf'y(1，y)一∫01yf'y(x，y)dx。
由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f'y(1，y)=f'x(x，1)=0。所以
∫01xyf''y(x，y)dx=—∫01yf'y(x，y)dx。
因此
=∫01dy∫01xyf''y(x，y)dx=—∫01dy∫01yf'y(x，y)dx，
对该积分交换积分次序可得
—∫01dy∫01yf'y(x，y)dx=—∫01dx∫01yf'y(x，y)dy。
再考虑积分∫01yf'y(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有
∫01yf'y(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy，
因此
=—∫01dx∫01yf'y(x，y)dy=—∫01dx∫01f(x，y)dy=
xyf''xy(x，y)dxdy转化为累次积分可得xyf''xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf''xy(x，y)dx首先考虑∫01xyf''xy(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有
∫01xyf''xy(x，y)dx=y∫01xdf'y(x，y)
=xyf'y(x，y)｜01一∫01yf'y(x，y)dx
=yf'y(1，y)一∫01yf'y(x，y)dx。
由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f'y(1，y)=f'x(x，1)=0。所以
∫01xyf''y(x，y)dx=—∫01yf'y(x，y)dx。
因此
=∫01dy∫01xyf''y(x，y)dx=—∫01dy∫01yf'y(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得
—∫01dy∫01yf'y(x，y)dx=—∫01dx∫01yf'y(x，y)dy。
再考虑积分∫01yf'y(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有
∫01yf'y(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy，
因此
=—∫01dx∫01yf'y(x，y)dy=—∫01dx∫01f(x，y)dy=【答案解析】