【正确答案】由题设知此式两边对x求导，得(x+1)f^''(x)+f^'(x)+f(x)+(x+1)f^'(x)一f(x)=0，即(x+1)^''(x)+(x+2)．f^'(x)=0此为关于f^'(x)的可分离变量方程，令f^'(x)=u，则f^''(x)=u^'，因此两边积分可得即(1)又由原题设等式知f^'(0)+f(0)=0，且已知条件f(0)=1可推知f^'(0)=一1，代入(1)式，解得C=-1，所以关于(2)中不等式的证明，可采用以下两种方法：(I)由(1)已知结论f^'(x)当x≥0时，f^'(x)<0，从而f(x)单调减少．又由f(0)=1，知f(x)≤f(0)=1，x≥0引入辅助函数φ(x)=f(x)一e^-x，显然有φ(0)=0，且从而φ(x)单调增加，即当x≥0时，有φ(x)≥φ(0)，即φ(0)≥e^-x．综上，当x≥0时，e^-sf(x)≤1成立．(Ⅱ)同样由(1)知，即则当x≥0时，所以e^-2≤f(x)≤1[评注]如果已知f^'(x)的表达式或某种性质，但很难通过不定积分求出f(x)的表达式，则可以通过变限积限积分建立f(x)与f^'(x)之间的联系，即有