解答题
21.设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得
【正确答案】先证存在性．
令
，则g(x)在[0，1]上连续，又
由零点定理知，存在ξ∈(0，1)使得g(ξ)=0，即
再证唯一性，用反证法．
假设存在ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)满足
．不妨设ξ1＜ξ2．显然g(ξ1)=g(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得g'(η)=0，即f’(η)-f(η)=0．这与条件f’(x)≠f(x)矛盾．即假设不成立．因此满足
令
，则g(x)在[0，1]上连续，又由零点定理知，存在ξ∈(0，1)使得g(ξ)=0，即
再证唯一性，用反证法．
假设存在ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)满足
．不妨设ξ1＜ξ2．显然g(ξ1)=g(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得g'(η)=0，即f’(η)-f(η)=0．这与条件f’(x)≠f(x)矛盾．即假设不成立．因此满足【答案解析】