解答题
25.设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q=
【正确答案】由QTAQ=
得A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=1，且λ1=2对应的
的特征向量为
由AT=A得BT=(A2+2E)T=(A2)T+2E=A2+2E=B,即B为实对称矩阵
显然B的特征值为λ1=6，λ2=λ3=3，且B相应于特征值λ1=6的特征向量为
设B的相应于λ2=λ3=3的特征向量为
因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以
即x1+x2+x3=0,
于是B的相应于特征值λ2=λ3=3的线性无关的特征向量为
得A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=1，且λ1=2对应的的特征向量为
由AT=A得BT=(A2+2E)T=(A2)T+2E=A2+2E=B,即B为实对称矩阵
显然B的特征值为λ1=6，λ2=λ3=3，且B相应于特征值λ1=6的特征向量为
设B的相应于λ2=λ3=3的特征向量为
因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以
即x1+x2+x3=0,于是B的相应于特征值λ2=λ3=3的线性无关的特征向量为
【答案解析】