问答题
设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x
2
f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"'(c)=0．
【正确答案】正确答案：由于F(0)=F(1)=0，F(x)在[0，1]可导，则
ξ
1
∈(0，1)，F'(ξ
1
)=0．又 F'(x)=x
2
f'(x)+2xf(x)， 及由F'(0)=0，F'(ξ
1
)=0，F'(x)在[0，1]可导，则
ξ
2
∈(0，ξ
1
)使得F"(ξ
2
)=0．又 F"(x)=x
2
f"(x)+4xf'(x)+2f(x)， 及由F"(0)=F"(ξ
2
)=0，F"(x)在[0，1]可导，则
ξ
1
∈(0，1)，F'(ξ
1
)=0．又 F'(x)=x
2
f'(x)+2xf(x)， 及由F'(0)=0，F'(ξ
1
)=0，F'(x)在[0，1]可导，则
ξ
2
∈(0，ξ
1
)使得F"(ξ
2
)=0．又 F"(x)=x
2
f"(x)+4xf'(x)+2f(x)， 及由F"(0)=F"(ξ
2
)=0，F"(x)在[0，1]可导，则
【答案解析】