解答题
14.设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】设f’＋(a)＞0，f’－(b)＞0，
由f’＋(a)>0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0；
由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0，
因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．
令h(x)＝
，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，
存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0，
而h’(x)＝
，所以
，
令φ(x)＝f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，
而φ’(x)＝f”(x)g(x)－f(x)g”(x)，所以
由f’＋(a)>0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0；
由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0，
因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．
令h(x)＝
，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0，
而h’(x)＝
，所以，令φ(x)＝f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝f”(x)g(x)－f(x)g”(x)，所以
【答案解析】