填空题
已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．
- 1、
【正确答案】
1、
【答案解析】[解析] 设Aα=λα，α≠0，那么由Anα=λnα，有
(λ4-λ3-λ2-2λ)α=0，α≠0．
从而λ4-λ3-λ2-2λ=0．即λ(λ-2)(λ2+λ+1)=0
由于实对称矩阵特征值必为实数，故A的特征值为0或2．
再由秩r(A)=3，可知特征值必为2，2，2，0．
(λ4-λ3-λ2-2λ)α=0，α≠0．
从而λ4-λ3-λ2-2λ=0．即λ(λ-2)(λ2+λ+1)=0
由于实对称矩阵特征值必为实数，故A的特征值为0或2．
再由秩r(A)=3，可知特征值必为2，2，2，0．