解答题
7.(2003年试题，六)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=
变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=
【正确答案】由题设，x=x(y)与y=y(x)互为反函数，则
即
，将此式两边对x求导，得
于是
将上式代入题设(1)中所给方程
得
化简得y''一y=sinx，此为二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ2—1=0得特征值λ1=1，λ2=一1，从而齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x设非齐次方程特解为y*=Acosx+Bsinx，代入原方程可求得
因此
综上，非齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x
由已知条件y(0)=0
，可解得C1=1，C2=一1，于是
即，将此式两边对x求导，得于是将上式代入题设(1)中所给方程得化简得y''一y=sinx，此为二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ2—1=0得特征值λ1=1，λ2=一1，从而齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x设非齐次方程特解为y*=Acosx+Bsinx，代入原方程可求得因此综上，非齐次方程通解为y=C1ex+C2e-x由已知条件y(0)=0，可解得C1=1，C2=一1，于是【答案解析】本题将反函数的求导方法与二阶线性常系数非齐次微分方程结合起来，考查考生的基本运算能力和综合运用知识的能力．