解答题
25.[2017年] 已知平面区域D={(x，y)∣x2+y2≤2y)，计算二重积分
【正确答案】 积分区域具有对称性，首先考虑使用奇偶性；其次，因为积分区域为圆域，使用极坐标进行计算比较方便．
令D1={(x，y)∣x2+(y一1)2≤1，x≥0)，则
(x+1)2dxdy=
(x2+1)dxdy(由积分区域具有对称性得到)
=2
x2dxdy+
dxdy
=2∫0π/2dθ∫02sinθr2cos2θrdθ+π
=8∫0π/2cos2θsin4θdθ+π
=8∫0π/2(1一sin2θ)sin4θdθ+π
=8
令D1={(x，y)∣x2+(y一1)2≤1，x≥0)，则
(x+1)2dxdy=(x2+1)dxdy(由积分区域具有对称性得到)=2
x2dxdy+dxdy=2∫0π/2dθ∫02sinθr2cos2θrdθ+π
=8∫0π/2cos2θsin4θdθ+π
=8∫0π/2(1一sin2θ)sin4θdθ+π
=8
【答案解析】