问答题
求函数z=x
2
+y
2
+2x+y在区域D={(x，y)|x
2
+y
2
≤1)上的最大值与最小值．
【正确答案】正确答案：由于x
2
+y
2
≤1是有界闭区域，z=x
2
+y
2
+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值． ①解方程组
得
由于
不在区域D内，舍去． ②函数在区域内部无偏导数不存在的点． ③再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求z=x
2
+y
2
+2x+y满足约束条件x
2
+y
2
=1的条件极值点．此时z=1+2x+y． 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x
2
+y
2
一1)， 解方程组
得
或
所有三类最值怀疑点仅有两个，由于
所以最小值
最大值
得
由于
不在区域D内，舍去． ②函数在区域内部无偏导数不存在的点． ③再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求z=x
2
+y
2
+2x+y满足约束条件x
2
+y
2
=1的条件极值点．此时z=1+2x+y． 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x
2
+y
2
一1)， 解方程组
得
或
所有三类最值怀疑点仅有两个，由于
所以最小值
最大值
【答案解析】