问答题
求函数f(x，y)=x
2
+2y
2
一x
2
y
2
在区域D={(x，y)|x
2
+y
2
≤4，y≥0)上的最大值与最小值．
【正确答案】正确答案：先求f(x，y)在D内部的驻点．由 f
x
'(x，y)=2x一2xy
2
=0，f
y
'(x，y)=4y一2x
2
y=0，解得x=0或y=±1；
或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为
经计算，有
再考虑区域D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x
2
，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x
2
+y
2
=4(y＞0)上，
=x
2
+2(4一x
2
)一x
2
(4一x
2
)=x
4
一5x
2
+8
g(x)(一2＜x＜2)． 令g’(x)=4x
3
一10x=0，得x=0或
．比较所得函数值的大小，有
或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为
经计算，有
再考虑区域D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x
2
，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x
2
+y
2
=4(y＞0)上，
=x
2
+2(4一x
2
)一x
2
(4一x
2
)=x
4
一5x
2
+8
g(x)(一2＜x＜2)． 令g’(x)=4x
3
一10x=0，得x=0或
．比较所得函数值的大小，有
【答案解析】