解答题
20.设f(x)在[0，1]_k--阶可导，且｜f”(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：
｜f’(x)｜≤
｜f’(x)｜≤
【正确答案】由泰勒公式得
f(0)＝f(x)－f’(x)x＋
f”(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，
f(1)＝f(x)＋f’(x)(1－x)＋
f”(ξ2)(1－x)2，ξ2∈(x，1)，
两式相减，得f’(x)＝
f”(ξ1)x2－
f”(ξ2)(1－x)2．
两边取绝对值，再由｜f”(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤
[x2＋(1－x)2]＝(x－
)2＋
f(0)＝f(x)－f’(x)x＋
f”(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)＝f(x)＋f’(x)(1－x)＋
f”(ξ2)(1－x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得f’(x)＝
f”(ξ1)x2－f”(ξ2)(1－x)2．两边取绝对值，再由｜f”(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤
[x2＋(1－x)2]＝(x－)2＋【答案解析】