解答题
15.设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：
【正确答案】A2=A，A的特征值的取值为1，0，由A一A2=A(E一A)=O知
r(A)+r(E—A)≤n，
r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，
故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r．
对λ=1，(E—A)X=0，因r(E一A)=n—r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξs；
对λ=0，(0E一A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn．
故存在可逆阵
P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，
使得
P一1AP=
r(A)+r(E—A)≤n，
r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，
故r(A)+r(E一A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r．
对λ=1，(E—A)X=0，因r(E一A)=n—r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξs；
对λ=0，(0E一A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n一r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn．
故存在可逆阵
P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，
使得
P一1AP=
【答案解析】