问答题 求下列级数收敛半径和收敛域．
问答题
【正确答案】由于 [*] 所以收敛半径R=1． 当x=-1时，原级数为[*]，它是一个交错级数，且通项单调递减，趋于零，故它是收敛的； 当x=1时，原级数为[*]，它是一个正项级数，由于通项[*][*]，由比较判别法和调和级数敛散性知，它是发散的． 所以，原级数的收敛域为[-1，1)．
【答案解析】
问答题
【正确答案】这是一个缺偶次项的幂函数，由 [*] 得 [*] 当[*]时，原级数变为[*]，通项不趋于零，故它是发散的． 所以原级数的收敛半径是[*]，收敛域是[*]．
【答案解析】
问答题 求幂级数
【正确答案】方法一 令y=2x+1，则原幂级数化为[*]，由收敛半径公式得新幂级数的收敛半径R=1．
当y=±1时，幂级数化为[*]，因其通项不趋于零，故该级数发散．所以[*]的收敛域为-1＜y＜1，从而原幂级数的收敛域是-1＜2x+1＜1，即-1＜x＜0．
记和函数[*]．两边积分得
[*]
为了消去n，再对上式中[*]积分，得
[*]
对上式求导得
[*]
故
[*]
因此，原幂级数的和函数为
[*]
方法二 为了求幂级数[*]的和函数，对几何级数[*]两边求导，得
[*]
对该等式两边乘以y2后求导，得
[*]
即得
[*]
【答案解析】
问答题 将有理分式函数
【正确答案】将有理分式部分分式化为 [*] 由基本展开式[*]，得 [*] 且f(0)=1．
【答案解析】
问答题 将有理分式函数
【正确答案】因[*]，而 [*] 所以所求的幂级数为 [*]
【答案解析】
问答题 已知两点和B(3，0，2)，试计算向量
【正确答案】由[*]和B(3，0，2)得[*]，且易得[*]．
方向余弦：[*]．
方向角：[*]．
在x轴上的投影PrjxAB=-1，就是向量在x轴上的分向量．
【答案解析】
问答题 求向量a=(4，-3，4)在向量b=(2，2，1)上的投影．
【正确答案】由a=(4，-3，4)，b=(2，2，1)得 [*]
【答案解析】
问答题 设a=(3，5，-2)，b=(2，1，4)，问λ与μ满足怎样的关系，才能使λa+μb与z轴垂直?
【正确答案】λa+μb与z轴垂直的充要条件为(λ4+μb)·(0，0，1)=0．而 λa+μb=(3λ，5λ，-2λ)+(2μ，μ，4μ)=(3λ+2μ，5λ+μ，4μ-2λ) 所以 (3λ+2μ，5λ+μ，4μ-2λ)·(0，0，1)=0 即 -2λ+4μ=0，λ=2μ 故当且仅当λ=2μ时，λa+μb与z轴垂直．
【答案解析】
问答题 已知A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，求与
【正确答案】[*]=(2，4，-1)，[*]=(0，-2，2)． 由叉积的定义有 [*] 所求单位向量为 [*]
【答案解析】
问答题 求过三点(1，1，-1)，(-2，-2，2)，(1，-1，2)的平面方程．
【正确答案】设三点分别是A，B，C，则[*]就是这一平面的法向量，[*]=(-3，-3，3)，[*]=(0，-2，3)，因而所求平面的法向量为 [*] 从而平面方程为 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0 即 x-3y-2z=0
【答案解析】
问答题 求过两点A(3，-2，1)，B(-1，0，2)的直线方程．
【正确答案】[*]=(-4，2，1)是所求直线的方向向量，故所求的直线方程为 [*]
【答案解析】
问答题 求过点(2，0，-3)且与直线
【正确答案】由已知直线的方向向量即为所求平面的法向量 [*] 由点法式得所求平面方程为 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0 即 16x-14y-11z-65=0
【答案解析】
问答题 求过点(3，1，-2)且通过直线
【正确答案】因为平面过已知直线，故平面也过点B(4，-3，0)，并且平面平行于向量s=(5，2，1)． 又因为平面过点A(3，1，-2)，所以向量[*]=(1，-4，2)也平行于平面，从而所求平面的法向量为 [*] 由点法式得所求平面方程为 -8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即 8x-9y-22z-59=0
【答案解析】
问答题 求点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影．
【正确答案】过点A且垂直于平面的垂线方程为 [*] 将其化为参数方程 x=-1+t，y=2+2t，z=-t 代入平面方程得 (-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 即[*]，所以垂足为[*]，即为所求的投影．
【答案解析】
问答题 求直线
【正确答案】设过直线[*]的平面方程为 (2x-4y+z)+λ(3x-y-2z-9)=0 即 (2+3λ)x+(-4-λ)y+(1-2λ)z-9λ=0 要使该平面与平面4x-y+z=1垂直，需且只需它们的法向量互相垂直，即 (4，-1，1)·(2+3λ，-4-λ，1-2λ)=0 由此得[*]，代入待定式得投影平面方程为17x+31y-37z-117=0． 故投影直线方程为 [*]
【答案解析】
问答题 设一平面垂直于平面z=0并通过从点到直线
【正确答案】直线[*]的对称式方程为[*]． 设点(1，-1，1)到直线L的垂足为B(0，k，1+k)，则[*]=(-1，k+1，k)垂直于L的方向向量l=(0，1，1)．从而[*]·l=0，即-1×0+(k+1)×1+k×1=0，也即[*]．故垂足的坐标为[*]． 又所求平面Π垂直于平面z=0，从而单位向量k∥Π，又Π过[*]，从而[*]∥Π．因而取Π的法向量为 [*] 由点法式知，Π的方程为 [*](x-1)+1·(y+1)+0·(z-1)=0 即 x+2y+1=0
【答案解析】
问答题 已知点A(1，0，0)，B(0，2，1)，试在z轴上求一点C，使△ABC的面积最小．
【正确答案】设所求点C的坐标为(0，0，z)，则[*]=(1，0，-z)，[*]=(0，2，1-z)．从而△ABC的面积为 [*] 即[*]故 [*] 令[*]，得唯一驻点[*]． 易验证[*]即为最小值点，因此所求点为[*]．
【答案解析】