问答题
在两种商品交换的经济体中，两个人(a，b)有如下的效用函数：U
a
(X
a
)=lnX
1a
+2lnX
2a
，U
b
(X
b
)=2lnX
1b
+lnX
2b
，假定a最初的资源禀赋R
a
=(9，3)，即a拥有9个X
1
和3个X
2
，而b最初的资源禀赋R
b
=(12，6)，即6拥有12个X
1
和6个X
2
。定义两种商品X
1
和X
2
的价格之比P
1
／P
2
=P，并标准化商品2的价格P
2
=1。证明：均衡的价格水平P
*
=0．5。(中国人民大学2011研)
【正确答案】正确答案：假设消费者0和b对两种商品的超额需求量分别为E
11
，E
12
，E
21
，E
22
(即消费超过初始禀赋的量，可以为负)。 则有E
11
=X
1a
-9，E
12
=X
2a
-3，E
21
=X
1b
-12，E
22
=X
2b
-6。 即X
1a
=E
11
+9，X
2a
=E
12
+3，X
1b
=E
21
+12，X
2b
=E
22
+6。 又因超额需求E
11
和E
12
应当满足P
1
E
11
+P
2
E
12
=0，这表明消费者的超额需求净值为0。将前两式代入效用函数并构造如下拉格朗日函数： V
1
=ln(E
11
+9)+2ln(E
12
+3)-λ(P
1
E
11
+P
2
E
12
) 令V
1
的一极偏导数为0，则消费者a达到效用最大化：
消去λ，求得消费者a的超额需求函数为
同理，我们将X
1b
=E
21
+12，X
2b
=E
22
+6代入消费者b的效用函数并根据预算约束P
1
E
21
+P
2
E
22
=0构造如下拉格朗日函数： V
2
=2ln(E
21
+12)+ln(E
22
+6)-λ(P
1
E
21
+P
2
E
22
) 令V
2
的一阶偏导数为0，则消费者b达到效用最大化：
消去A，求得消费者b的超额需求函数为
又因市场均衡时市场出清原则，于是有 E
1
=E
11
+E
21
E
2
=E
12
+E
22
消去λ，求得消费者a的超额需求函数为
同理，我们将X
1b
=E
21
+12，X
2b
=E
22
+6代入消费者b的效用函数并根据预算约束P
1
E
21
+P
2
E
22
=0构造如下拉格朗日函数： V
2
=2ln(E
21
+12)+ln(E
22
+6)-λ(P
1
E
21
+P
2
E
22
) 令V
2
的一阶偏导数为0，则消费者b达到效用最大化：
消去A，求得消费者b的超额需求函数为
又因市场均衡时市场出清原则，于是有 E
1
=E
11
+E
21
E
2
=E
12
+E
22
【答案解析】