【正确答案】证一 由f′(ξ)=1得f′(ξ)一1=0，[f(x)一x]′∣_x=ξ=0，因而令辅助函数
F(x)=f(x)－x．因F(1)=f(1)一l=l一1=0，又f(x)为奇函数，故f(0)=0，于是F(0)=f(0)－0=0．显然F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的其他条件，由该定理知，存在ξ∈(0，1)，
使F′(ξ)=0，即f′(ξ)一1=0，f′(ξ)=1．
证二 也可用拉格朗日中值定理证之，注意到f(1)=1，f(0)=0，对f(x)在[0，1]上使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，1)使f(1)一f(0)=(1—0)f′(ξ)，即f′(ξ)=1．

【正确答案】证一 因待证等式可改写为[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=0，故作辅助函数
F(x)=f′(x)+f(x)一x，因F(1)=f′(1)+f(1)一1=f′(1)，
F(一1)=f′(一1)+f(一1)+1=f′(一1)一f(1)+1=f′(一1)=f′(1)
(因f′(x)为偶函数)．
显然F(x)在[－1，1]上可导，满足罗尔定理的条件，由该定理知，存在η∈(一l，1)使
F′(η)=0，即[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=f″(η)+f′(η)一1=0．
证二 待证等式可改写为[f′(η)一1]′+f′(η)一l=0，两边乘以e^η，则
e^η[f′(η)一1]′+e^η[f′(η)一1]={e^η[f′(η)一1]}′=0．
于是令F(x)=e^x[f′(x)一1]．由(I)知存在ξ∈(0，1)使f′(ξ)=1，又因f′(x)为偶函数，故f′(一ξ)=f′(ξ)=1，则F(ξ)=e^ξ[f′(ξ)一1]=0，
F(一ξ)=e^-ξ[f′(一ξ)一1]=e^-ξ[f′(ξ)一1]=0．
在区间[一ξ，ξ]上对F(x)使用罗尔定理，得到存在η∈(－ξ，ξ)