【正确答案】 B

【答案解析】令f(x)=显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，A不对；
令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的，故C不对；
令f(x)=显然=0，但f(x)在x=0处不连续，D不对；
若f(x)在x=a处连续，则=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜，根据夹逼定理，