问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX，且|A|＜0．
问答题
证明：存在n维向量ξ
0
，使得
【正确答案】
【答案解析】证 设A有特征值λ
i
，i=1，2，…，n，则
可知A有奇数个特征值小于零．设λ 0 ＜0，其对应的特征向量为ξ 0 ，则有Aξ 0 =λ 0 ξ 0 ，其中ξ 0 ≠0．
两边左乘
，得
．因ξ
0
≠0，故有
．
又λ 0 ＜0，故
，得证存在n维向量ξ
0
，使得
可知A有奇数个特征值小于零．设λ 0 ＜0，其对应的特征向量为ξ 0 ，则有Aξ 0 =λ 0 ξ 0 ，其中ξ 0 ≠0．
两边左乘
，得
．因ξ
0
≠0，故有
．
又λ 0 ＜0，故
，得证存在n维向量ξ
0
，使得
问答题
设
求ξ
0
，使得
求ξ
0
，使得
【正确答案】
【答案解析】解 由上一小题可知先求A的特征值．
得A的负特征值λ 0 =-4．
由(λ 0 E-A)X=(-4E-A)X=0，
，解得
此时
得A的负特征值λ 0 =-4．
由(λ 0 E-A)X=(-4E-A)X=0，
，解得
此时