单选题
下列三个命题
① 设
a
n
x
n
的收敛域为(一R，R)，则
的收敛域为(一R，R)；
② 设幂级数
a
n
x
n
在x=一1条件收敛，则它的收敛半径R=1；
③ 设幂级数
a
n
x
n
，
b
n
x
n
的收敛半径分别为R
1
，R
2
，则
a
n
x
n
的收敛域为(一R，R)，则
的收敛域为(一R，R)；
② 设幂级数
a
n
x
n
在x=一1条件收敛，则它的收敛半径R=1；
③ 设幂级数
a
n
x
n
，
b
n
x
n
的收敛半径分别为R
1
，R
2
，则
【正确答案】
B
【答案解析】解析：此类选择题必须逐一判断． 关于命题①：对幂级数
a
n
x
n
逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化．如
x
n
的收敛域为(一1，1)，但
的收敛域是[一1，1)． 关于命题②：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确． 记该幂级数的收敛半径为R．若R>1，由于
a
n
x
n
绝对收敛=>
a
n
(一1)
n
绝对收敛，与已知矛盾．若R<1，由
a
n
x
n
发散=>
a
n
(一1)
n
发散，也与已知矛盾．因此，R=1． 关于命题③：当R
1
≠R
2
时，R=min(R
1
，R
2
)，于是要考察R
1
=R
2
的情形． 设有级数
，易求得它们的收敛半径均为R
1
=R
2
=1但
a
n
x
n
逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化．如
x
n
的收敛域为(一1，1)，但
的收敛域是[一1，1)． 关于命题②：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确． 记该幂级数的收敛半径为R．若R>1，由于
a
n
x
n
绝对收敛=>
a
n
(一1)
n
绝对收敛，与已知矛盾．若R<1，由
a
n
x
n
发散=>
a
n
(一1)
n
发散，也与已知矛盾．因此，R=1． 关于命题③：当R
1
≠R
2
时，R=min(R
1
，R
2
)，于是要考察R
1
=R
2
的情形． 设有级数
，易求得它们的收敛半径均为R
1
=R
2
=1但