问答题
求下列函数的n阶导数(n≥1)：
(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)； (Ⅱ) y=xcos4x．
(Ⅰ) y=ln(6x2+7x-3)； (Ⅱ) y=xcos4x．
【正确答案】(Ⅰ) 因为6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以
y=ln(6x2+7x-3)=ln|3x-1|+ln|2x+3|．
故
(Ⅱ) 由于y'=cos4x+x(cos4x)'=1·cos4x+x·(cos4x)'，
y"=(cos4x)'+(cos4x)'+x(cos4x)"=2(cos4x)'+x(cos4x)"，
从而猜想y(n)=n,(cos4x)(n-1)+x(cos4x)(n) (n=1，2，…)， (*)
由此可得
y(n+1)=n(cos4x)(n)+(cos4x)(n)+x(cos4x)(n+1)
=(n+1)(cosax)(n)+x(cos4x)(n+1)．
按数学归纳法知公式(*)成立．
故y(n)=n(cos4x)(n-1+)+x(cos4x)(n)
y=ln(6x2+7x-3)=ln|3x-1|+ln|2x+3|．
故
(Ⅱ) 由于y'=cos4x+x(cos4x)'=1·cos4x+x·(cos4x)'，
y"=(cos4x)'+(cos4x)'+x(cos4x)"=2(cos4x)'+x(cos4x)"，
从而猜想y(n)=n,(cos4x)(n-1)+x(cos4x)(n) (n=1，2，…)， (*)
由此可得
y(n+1)=n(cos4x)(n)+(cos4x)(n)+x(cos4x)(n+1)
=(n+1)(cosax)(n)+x(cos4x)(n+1)．
按数学归纳法知公式(*)成立．
故y(n)=n(cos4x)(n-1+)+x(cos4x)(n)
【答案解析】