解答题
17.[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
【正确答案】(1)
，令
，则f(x1，x2，x3)=XTAX．
由于标准形为λ1y12+λ2y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故｜A｜=0，即｜A｜=
=一3(a一2)=0，解得a=2．
(2)由｜λE—A｜=
=λ(λ+3)(λ一6)=0，得λ1=一3，λ2=6，λ3=0．
当λ1=一3时，一3E—A→
，得λ1=一3对应的线性无关的特征向量为α1=
当λ2=6时，6E-A=
，得λ2=6对应的线性无关的特征向量α2=
由0E—A→
，得λ3=0对应的线性无关的特征向量α3=
规范化得
故正交矩阵
，令，则f(x1，x2，x3)=XTAX．由于标准形为λ1y12+λ2y22，可知矩阵A有零特征值，即λ3=0，故｜A｜=0，即｜A｜=
=一3(a一2)=0，解得a=2．(2)由｜λE—A｜=
=λ(λ+3)(λ一6)=0，得λ1=一3，λ2=6，λ3=0．当λ1=一3时，一3E—A→
，得λ1=一3对应的线性无关的特征向量为α1=当λ2=6时，6E-A=
，得λ2=6对应的线性无关的特征向量α2=由0E—A→
，得λ3=0对应的线性无关的特征向量α3=规范化得
故正交矩阵
【答案解析】