解答题
7.试用配方法化二次型
f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3
为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。
f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3
为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。
【正确答案】由于f中含有x1的平方项，故先把含x1的项进行配方，然后再把含x2的项进行配方，依次配方即可。即
f(x1，x2，x3)=2(x12+2x1x2—2x1x3)+3x22+x32—8x2x3
=2(x1+x2—x3)2+x22—4x2x3—x32
=2(x1+x2—x3)2+(x2—2x3)2—5x32。
令
则把二次型f化成了标准形
f(x1，x2，x3)=2y12+y22—5y32。
所用的可逆线性变换矩阵为C=
f(x1，x2，x3)=2(x12+2x1x2—2x1x3)+3x22+x32—8x2x3
=2(x1+x2—x3)2+x22—4x2x3—x32
=2(x1+x2—x3)2+(x2—2x3)2—5x32。
令
则把二次型f化成了标准形
f(x1，x2，x3)=2y12+y22—5y32。
所用的可逆线性变换矩阵为C=
【答案解析】