计算题 纯交换的完全竞争市场上有两个消费者A和B，两种商品X和y，消费者A和B的效用函数分别为U(XA，YA)=XAYA和U(XB，YB)=lnXB+αlnYB。其中，XA，YA分别为消费者A在X、Y上的消费，XB，YB同理。A和B的初始禀赋分别为(eAX，eAY)，(eBX，eBY)。经济体的初始总禀赋为(EX，EY)={(eAX+eAY)，(eBX+eBY)}。(2016年北京大学国家发展研究院经济学理论)
问答题 20.求竞争性市场均衡条件下的产品价格以及每个消费者的情况。
【正确答案】设商品X的价格为1，商品Y的相对价格为p。消费者A的效用最大化问题为
=XAYA
s．t．XA+pYA=eAX+peAY
构造拉格朗日函数
L(XA，YA，A)=XAYA+λ(eAX+peAY－XA－pYA)
其一阶条件为

由此得出消费者A对X和y的需求函数分别为
XA=

同理可得消费者B对X和Y的需求函数分别为
XB=

市场均衡条件下，有
XA+XB==eAX+eBX
解得
【答案解析】
问答题 21.给定初始禀赋不变，试分别考虑在a=1和a≠1情况下，通过以下方法改变两个消费者的初始禀赋分配情况：把商品X或Y从A的初始禀赋挪到B的初始禀赋中，会对市场均衡价格有何影响?市场总需求跟初始的禀赋分配状况相关吗?为什么?
【正确答案】①当α=1时，有
【答案解析】
问答题 22.交易后，人们的效用水平上升了还是下降了?为什么?
【正确答案】交易后，人们的效用水平至少和原来一样好。证明如下：
①消费者A的效用为
U(XA，YA)=XAYA==eAXeAY
因此，交易后消费者A的效用水平至少和不交易时一样好。
②消费者B的效用水平为
U(XB，YB)=lnXB+αlnYB=
【答案解析】
问答题 23.写出帕累托最优的资源分配方案，即契约曲线表达式。
【正确答案】消费者A对商品X和Y的边际替代率为
MRSXYA=
消费者B对商品X和Y的边际替代率为
MRSXYB=
达到帕累托最优分配时，有
MRSXYA=MRSXYB
又因为YB=eAY+eBY－YA，XB=eAX+eBX－XA，故可求得交换的契约曲线为
【答案解析】
问答题 24.A的效用函数变成U(XA，YA)=βlnXA+βlnYA。那么前四问的答案是否会发生变化?为什么?
【正确答案】不发生变化。根据序数效用论，对效用函数进行正单调变换，所反应的消费者偏好不发生变化，因此前四问的答案不会发生变化。
【答案解析】