解答题
7.设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
【正确答案】由泰勒公式
y(x)=y(0)+yˊ(0)x+
yˊˊ(0)x2+
yˊˊˊ(0)x3+o(x3) (x→0)．
当x→0时，y(x)与x3同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)－yˊˊ=0两边积分得
∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0，
即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．
易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．
由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得
C1+C2=0，C1－C2=C=>
因此最后得y=[
y(x)=y(0)+yˊ(0)x+
yˊˊ(0)x2+yˊˊˊ(0)x3+o(x3) (x→0)．当x→0时，y(x)与x3同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)－yˊˊ=0两边积分得
∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0，
即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．
易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．
由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得
C1+C2=0，C1－C2=C=>
因此最后得y=[
【答案解析】