【正确答案】正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P ₁ ，使得P ₁ ^T AP ₁ =E．作B ₁ =P ₁ ^T BP ₁ ，则B ₁ 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q ^T B ₁ Q是对角矩阵．令P=P ₁ Q，则 P ^T AP=Q ^T P ₁ ^T AP ₁ Q=E，P ^T BP=Q ^T P ₁ ^T BP ₁ Q=Q ^T B _t Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P ^T BP对角线上的元素依次为λ ₁ ，λ ₃ ，…，λ _n ，记 M=max{|λ ₁ |，|λ ₂ |，…，|λ _n |}． 则当|ε|＜1／M时,E+εP ^T BP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ _i ＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP ^T BP正定，P ^T (A+εB)P=E+εP ^T BP，因此A+εB也正定．