解答题
16.设二次型f(χ，χ，χ)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝
【正确答案】(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3，
因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，
显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝5．
由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解，
故α1＝
，α2＝
为λ1＝λ2＝－1对应的线性无关解．
令α3＝
为λ3＝5对应的特征向量，
因为AT＝A，所以
即
解得α3＝
，
令
规范化得
令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX
－y12－y22＋5y32．
(2)由QTAQ＝
得
因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，
显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝5．
由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解，
故α1＝
，α2＝为λ1＝λ2＝－1对应的线性无关解．令α3＝
为λ3＝5对应的特征向量，因为AT＝A，所以
即解得α3＝，令
规范化得
令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX
－y12－y22＋5y32．(2)由QTAQ＝
得【答案解析】