解答题
14.给定常数c>0，定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N*．
(1)若a1=-c-2，求a2及a3；
(2)求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
(3)是否存在a1，使得a1，a2，…an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
(1)若a1=-c-2，求a2及a3；
(2)求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
(3)是否存在a1，使得a1，a2，…an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
【正确答案】(1)a2=2，a3=c+10；
因为c>0，a1=-(c+2)，故a2=f(a1)=2 |a1+c+4|-|a1+c|=2，a3=f(a2)=2|a2+c+4|-|a2+c|=c+10．
(2)证明f(x)≥x+c对任意x∈R都成立，f(x)≥x+c
2|x+c+4|-|x+c|≥x+c，证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c，若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c>0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+c
x+c+4>x+c显然成立．综上，f(x)≥x+c恒成立，即对任意的n∈N*，an+1-an≥c
(3)由(2)知，若{an}为等差数列，则公差d≥c>0，故n无限增大时，总有an>0，此时，an+1=f(an)=2(an+c+4)-(an+c)=an+c+8，即d=c+8．故a2=f(a1)=2|a1+c+4|-|a1+c|=a1+c+8，即2|a1+c+4|=|a1+c|+a1+c+8，当a1+c≥O时，等式成立，且n≥2时，an>0，此时{an)为等差数列，满足题意；当a1+c<0时，则|a1+c+4|=4
因为c>0，a1=-(c+2)，故a2=f(a1)=2 |a1+c+4|-|a1+c|=2，a3=f(a2)=2|a2+c+4|-|a2+c|=c+10．
(2)证明f(x)≥x+c对任意x∈R都成立，f(x)≥x+c
2|x+c+4|-|x+c|≥x+c，证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c，若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c>0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+cx+c+4>x+c显然成立．综上，f(x)≥x+c恒成立，即对任意的n∈N*，an+1-an≥c(3)由(2)知，若{an}为等差数列，则公差d≥c>0，故n无限增大时，总有an>0，此时，an+1=f(an)=2(an+c+4)-(an+c)=an+c+8，即d=c+8．故a2=f(a1)=2|a1+c+4|-|a1+c|=a1+c+8，即2|a1+c+4|=|a1+c|+a1+c+8，当a1+c≥O时，等式成立，且n≥2时，an>0，此时{an)为等差数列，满足题意；当a1+c<0时，则|a1+c+4|=4
【答案解析】