已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x，x，x)化成标准形；
(Ⅲ)求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由已知可得，二次型的矩阵A=
，且A的秩为2，从而｜A｜=
=-8a=0，解得a=0。 (Ⅱ)当a=0时，A=
，由特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
=0， 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2时，由(2E-A)x=0及系数矩阵
，得两个线性无关的特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
。 当λ=0时，由(0E-A)x=0及系数矩阵
，得特征向量α
3
=(1，-1，0)
T
。 容易看出，α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化，即得 γ
1
=
(1，1，0)
T
，γ
2
=(0,0，1)
T
，γ
3
=
(1，-1，0)
T
。 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则在正交变换X=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形f(
1
，x
2
，x
3
)=2y
1
2
+2y
2
2
。 (Ⅲ)由(Ⅰ)中结论，f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0，于是得
，且A的秩为2，从而｜A｜=
=-8a=0，解得a=0。 (Ⅱ)当a=0时，A=
，由特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
=0， 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2时，由(2E-A)x=0及系数矩阵
，得两个线性无关的特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
。 当λ=0时，由(0E-A)x=0及系数矩阵
，得特征向量α
3
=(1，-1，0)
T
。 容易看出，α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化，即得 γ
1
=
(1，1，0)
T
，γ
2
=(0,0，1)
T
，γ
3
=
(1，-1，0)
T
。 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则在正交变换X=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形f(
1
，x
2
，x
3
)=2y
1
2
+2y
2
2
。 (Ⅲ)由(Ⅰ)中结论，f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0，于是得
【答案解析】