选择题
4.[2007年] 设矩阵
【正确答案】
B
【答案解析】 因A，B都是实对称矩阵，先求A的特征值，看它们是否与B的特征值相同．
如相同，则A与B相似，当然合同；如不相同，但正的个数相同，则A与B不相似，但合同．
解一 易求得∣λE—A∣=λ(λ一3)2，故A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，它们不相同，但正特征值个数相同，且秩(A)=秩(B)=2，故A与B不相似，但合同．仅(B)入选．
解二 由命题2．5．3．3(4)知，如A与B相似，则tr(A)=tr(B)，但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2，故A与B不相似．
由于A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数p=2，q=0．因而由命题2．6．3．1知A与B合同，于是仅(B)入选．
如相同，则A与B相似，当然合同；如不相同，但正的个数相同，则A与B不相似，但合同．
解一 易求得∣λE—A∣=λ(λ一3)2，故A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，它们不相同，但正特征值个数相同，且秩(A)=秩(B)=2，故A与B不相似，但合同．仅(B)入选．
解二 由命题2．5．3．3(4)知，如A与B相似，则tr(A)=tr(B)，但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2，故A与B不相似．
由于A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数p=2，q=0．因而由命题2．6．3．1知A与B合同，于是仅(B)入选．