解答题
17.设f(x)连续，且f(x)一4∫0xtf(x—t)dt=ex，求f(x)．
【正确答案】∫0xtf(x－t)dt
x∫0xf(μ)dμ—∫0xμf(μ)dμ，
原方程两边求导得f'(x)一4∫0xf(μ)dμ=ex，
再求导得f''(x)一4f(x)=ex，
解方程得f(x)=C1e－2x+C2e2x一
ex，
由f(0)=1，f'(0)=1得C1=
，C2=1，故f(x)=
e－2x＋e2x一
x∫0xf(μ)dμ—∫0xμf(μ)dμ，原方程两边求导得f'(x)一4∫0xf(μ)dμ=ex，
再求导得f''(x)一4f(x)=ex，
解方程得f(x)=C1e－2x+C2e2x一
ex，由f(0)=1，f'(0)=1得C1=
，C2=1，故f(x)=e－2x＋e2x一【答案解析】