解答题
[2003年] 设二次型
f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
问答题
14.求a，b的值；
【正确答案】解一 二次型f的矩阵为
设A有特征值为λ1，λ2，λ3．由命题2．5．2．1得到 λ1+λ2+λ3=a+2+(－2)=1，
解之得a=1，b=2(因b＞0，故b=－2舍去)．
解二 二次型厂的矩阵为
A的特征多项式为
设A有特征值为λ1，λ2，λ3．由命题2．5．2．1得到 λ1+λ2+λ3=a+2+(－2)=1，解之得a=1，b=2(因b＞0，故b=－2舍去)．
解二 二次型厂的矩阵为
A的特征多项式为【答案解析】
问答题
15.利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
【正确答案】解一 由矩阵A的特征多项式
解得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3．
对于特征值λ1=λ2=2，解方程组(2E－A)X=0．因
可得两个线性无关且相互正交的特征向量为ξ1=[2，0，1]T，ξ2=[0，1，0]T．
对于特征值λ3=－3，易求得特征向量为ξ3=[1，0，－2]T．
由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，只需将其单位化，得
取矩阵
则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有
解得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3．
对于特征值λ1=λ2=2，解方程组(2E－A)X=0．因
可得两个线性无关且相互正交的特征向量为ξ1=[2，0，1]T，ξ2=[0，1，0]T．
对于特征值λ3=－3，易求得特征向量为ξ3=[1，0，－2]T．
由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，只需将其单位化，得
取矩阵
则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有【答案解析】